L’univers matemàtic dins una bombolla de sabó

El març passat, la matemàtica Karen Uhlenbeck es va reunir amb els convidats a la festa organitzada per l’Institute for Advanced Study. Unes hores abans li havien concedit el Premi Abel -era la primera vegada que el guanyava una dona- pel descobriment d’un fenomen anomenat bubbling, és a dir, bombolleig, entre altres coses.

Uhlenbeck és professora emèrita de la Universitat de Texas, a Austin, on ha desenvolupat la major part de la seva carrera professional (després de rebutjar una càtedra a Harvard). El 2014 es va jubilar i es va traslladar a Princeton. A l’Institute for Advanced Study té una pila de caixes de llibres damunt la taula. Es defineix com una lectora i pensadora desordenada, i va vestida de manera molt informal però amb estil, preferentment amb roba còmoda de colors i amb butxaques, i amb unes sandàlies Birkenstock amb mitjons.

Mentre un gran nombre de discursos i brindis elogiaven la labor de la seva vida, Karen Uhlenbeck escoltava al costat del faristol amb els ulls gairebé sempre tancats. Quan finalment li va tocar fer els seus comentaris (no preparats), va començar afirmant amb senzillesa: “Vist des de la perspectiva dels meus prop de vuitanta anys, també trobo que, com a jove matemàtica, soc força impressionant”. Tot seguit va assenyalar que, a falta de dones matemàtiques, el seu model havia sigut la cuinera Julia Child: “Sabia collir el gall dindi de terra i servir-lo a taula”.

Jo Nelson, matemàtica a la Rice University i amiga d’Uhlenbeck, estava molt contenta que la seva visita a l’institut hagués coincidit amb la festa en honor d’una de les seves mentores. “És increïble veure que se celebren i es comenten tan detalladament els èxits d’una dona en el terreny de les matemàtiques”. Fins i tot Robert MacPherson, topòleg i professor de matemàtiques de l’Institute for Advanced Study, va fer una de les seves escasses aparicions en un acte social. “És meravellós des de molts punts de vista”, va dir, amb un minicosmos de bombolles de xampany rosat a la mà.

Escumes vives

Fa una dècada, MacPherson i un col·laborador seu van formular una equació que descrivia, en tres dimensions i més, l’evolució de cada bombolla dins d’escumes vives: l’escuma fugaç de la seva copa de xampany, per exemple, o la més duradora que corona la pinta de cervesa. Segons Andrea Prosperetti, enginyer de la Universitat de Houston, investigadors de tots els colors han escrit “milers d’estudis” sobre les bombolles. Resulten atractives per la seva aparent simplicitat, que s’aproxima a l’existencial.

“Les bombolles són el buit, no són líquides; un núvol diminut que protegeix una singularitat matemàtica”, ha escrit Prosperetti. “Nascuda de l’atzar, és una vida violenta i breu que es fon en la unió amb el quasiinfinit”. I, quan comences a buscar-les, hi ha bombolles per tot arreu i de totes les mides: en mecanismes d’alta tecnologia per administrar fàrmacs, en salses emulsionades per a amanides, en escumes de sabó, forats negres... En arquitectura, el Centre Aquàtic Nacional de Pequín és una caixa de bombolles. És una aplicació de l’escuma de Weaire-Phelan, l’escuma més compacta composta per bombolles polièdriques d’igual volum, descoberta el 1994 pel físic irlandès Denis Weaire i un estudiant seu, Robert Phelan (primer a través d’una simulació per ordinador i després creada en un laboratori el 2012).

L’aportació d’Uhlenbeck és menys pràctica. El Premi Abel esmenta “els seus èxits pioners en equacions diferencials parcials geomètriques, teoria de gauge i sistemes integrables, i les imprescindibles repercussions de la seva labor en anàlisi, geometria i física matemàtica”. El nom juganer del seu treball, bubbling o bombolleig, n’oculta els espinosos tecnicismes. “És molt més abstracte i teòric, i metafòric”, diu Uhlenbeck.

La poesia de les bombolles

El llibre definitiu sobre bombolles i pel·lícules de sabó -una pel·lícula de sabó és la paret d’una bombolla, i una bombolla és una cèl·lula d’una escuma- és Statique expérimentale et théorique des liquides soumis aux seules forces moléculaires, publicat el 1873 pel físic belga Joseph Plateau. Aquest físic va experimentar durant dècades amb bombolles de sabó, el comportament de les quals va reflectir en el que ara en diuen les lleis de Plateau. En una ressenya del llibre a Nature, el físic escocès James Clerk Maxwell es lamentava: “¿La poesia de les bombolles sobreviurà a tot això?”

Una bombolla de sabó és la solució del món físic a un desafiament matemàtic: minimitzar una superfície, en aquest cas la que envolta un determinat volum d’aire. La natura sempre busca optimitzar, maximitzar un guany amb el mínim cost energètic. Així doncs, a tot arreu hi ha problemes de superfícies mínimes, fins i tot en dimensions superiors, i tota mena d’investigadors s’esforcen per descriure’n les normes reguladores.

“És un tema intemporal”, diu Uhlenbeck, asseguda a la taula del menjador. “Li plantejaré un problema”, diu. “Agafi un cordill amb una longitud fixa, posi’l sobre una cosa plana, com ara una taula, i procuri que a dins hi quedi la superfície més gran que pugui. Belluguem una mica el cordill, canviem-ne la forma una mica, per veure si la superfície augmenta o disminueix”. La resposta òptima no és un quadrat, sinó un cercle. Podeu provar-ho amb un quadrat: “Però si descargolem i aplanem els angles, ens hi cap més superfície”.

Una qüestió d’optimització

La solució d’aquests problemes de minimització és important en l’anomenat aprenentatge profund ( deep learning ). Segons Uhlenbeck, “les tècniques consisteixen en minimitzar una gran quantitat de petits problemes a tot arreu”. Aquest mètode el va popularitzar, als anys 40, Richard Courant, director i fundador del Courant Institute of Mathematical Sciences de la Universitat de Nova York. Els investigadors d’aquest institut han dut a terme fa poc un estudi que concloïa que “hi ha més d’una manera de formar una bombolla”. El seu experiment consistia en fer grans bombolles d’oli d’oliva (de la marca Bertolli) en un túnel d’aigua i crear així el que els investigadors en diuen un riu matemàtic. Això va portar a obtenir una fórmula magistral que descrivia la velocitat de flux necessària per crear i trencar una bombolla. Però també van descobrir una altra manera de crear una bombolla: empènyer amb un flux suau, a una velocitat inferior, una pel·lícula que ja està una mica inflada. “Aquest segon resultat ens va semblar sorprenent”, diu Leif Ristroph, un dels autors de l’estudi. “Això explica, potser, la manera com acostumàvem a crear bombolles quan érem petits. Una ràpida bufada corba la pel·lícula cap enfora i, tot seguit, la pel·lícula s’infla encara que el flux d’aire s’alenteixi”.

Escutoides i bandes de Möbius

Al desembre es va difondre la notícia d’un altre experiment de laboratori sobre la creació de bombolles, aquesta vegada amb un líquid de rentavaixelles i inspirant-se en l’escutoide, una nova forma geomètrica descoberta l’any passat en un estudi de cèl·lules tissulars. “Ens vam dedicar a aquest tema perquè sempre ens ha interessat la gran semblança d’alguns sistemes biològics cel·lulars amb l’escuma dels sabons”, explica el doctor Weaire. L’escutoide s’ha comparat amb un prisma tort, una forma estranya per a una cèl·lula viva, però de vegades òptima quan els teixits creixen, es corben i es desenvolupen. Weaire es preguntava: ¿l’optimització de l’escutoide és imposada per la genètica, o només per la geometria i la física del moment? “¿És senzillament atribuïble als fonaments de la teoria de les bombolles, és a dir, a les lleis elementals de la tensió superficial, formulades per Plateau? En aquest sentit, ¿les cèl·lules són només bombolles?”

Les bombolles hi van respondre afirmativament. L’experiment va funcionar satisfactòriament i va produir “configuracions d’escutoides en un sandvitx d’escuma seca” (acompanyades d’una simulació per ordinador, que representa només les forces de tensió superficial en una escuma).

Els científics també estudien les bombolles a l’altre extrem de l’espectre de dimensions possibles. A la Universitat de Cambridge, Adriana Pesci i altres especialistes en matemàtiques aplicades estudien les pel·lícules de sabó que es formen en una banda de Möbius. “L’aspecte més interessant d’aquesta investigació és que tot va començar amb unes fulguracions solars”, diu Pesci. Fa molt que els astrofísics afirmen, encara que només sigui simbòlicament, que els cúmuls de galàxies tenen una estructura com la de les solucions sabonoses. Les superfícies mínimes també són importants per estudiar els forats negres, perquè tenen una dinàmica regida per la “llei de la bombolla de sabó”.

Un problema d’escala

Durant el curs 2018-2019, investigadors de tot el món es van reunir a l’Institute for Advanced Study per a una de les seves immersions temàtiques anuals. “És el festival de bombolles més gran del món organitzat últimament”, diu el matemàtic Helmut Hofer.

Als seminaris i tallers es van esmentar sovint les aportacions de Karen Uhlenbeck. Amagada a casa seva el dia del premi, es va perdre una conferència de Xin Zhou, de la Universitat de Califòrnia, a Santa Barbara, que va posar a la part de dalt de la pissarra una referència preliminar a un dels teoremes d’Uhlenbeck, formulat fa 40 anys. El doctor Zhou, que acabava de demostrar un dels problemes encara pendents pel que fa a les superfícies mínimes, es va referir a l’obra d’aquesta científica com a font d’inspiració: “Sense el teorema d’Uhlenbeck ningú s’atreviria a intentar-ho”.

Una manera d’entendre o, si més no, de plantejar-se els matisos del treball de la doctora Uhlenbeck és tenir present el repte de l’escala. Va començar a dibuixar fa uns deu anys -sobretot escenes a l’aire lliure- i això la va portar a una revelació inesperada: “Vaig descobrir una cosa fascinant: el problema de l’escala apareix tant en les matemàtiques com en el dibuix”. Al dibuix, hi intentes reflectir tant l’escala gran (l’extensió del bosc) com la petita (les pastures i les flors). “En matemàtiques passa una cosa molt semblant”, diu. “La cosa més difícil en tots dos casos és ajustar les dues escales. Fan falta les eines adequades”. En física, assenyala, la teoria quàntica estudia el que és molt petit, mentre que la relativitat general s’ocupa del que és molt gran, i els físics encara no saben com conciliar les dues teories”.

Les bombolles d’Uhlenbeck s’enfronten a un repte semblant: va observar un fenomen complicat a petita escala i, a continuació, va inventar unes eines per investigar àrees a una escala més gran. “Només cal ampliar-les i mirar-les com si fossin sota una lupa, i aleshores es pot veure què passa”. Amb aquest plantejament, també va ajudar altres teòrics a abordar situacions desordenades.

Instantons

“He tingut unes quantes baralles amb les bombolles”, diu Edward Witten, físic de l’escola de ciències naturals de l’institut, escarxofat al sofà del seu despatx abans de pronunciar el seu discurs a la festa del Premi Abel. Intenta explicar que les bombolles d’instantons tenen importants aplicacions i conseqüències tant per a les matemàtiques com per a la teoria quàntica de camps. (Un instantó és un esdeveniment en l’espaitemps, res a veure amb una festa de celebració.) Per als matemàtics, explica Witten, les bombolles dels instantons eren un obstacle tècnic per entendre els espais quadridimensionals. “Per als físics no és només un obstacle tècnic. També conté secrets. Era el misteri clau que s’havia d’entendre”.